(2014？柳州)已知二次函数图象的顶点坐标为(0，

编辑： admin           2017-27-02         

（1）由于二次函数图象的顶点坐标为（0，1），
因此二次函数的解析式可设为y=ax²+1．
∵抛物线y=ax²+1过点（-1，54

），
∴54
=a+1．
解得：a=14
．
∴二次函数的解析式为：y=14
x²+1．

（2）当x=-1时，y=54
，
当x=0时，y=1，
当x=3时，y=14
×3²+1=134
，
结合图1可得：当-1＜x＜3时，y的取值范围是1≤y＜134
．

（3）①证明：∵△ABG的内切圆的圆心落在y轴上，
∴GP平分∠AGB．
∴直线GP是∠AGB的对称轴．
过点A作GP的对称点A′，如图2，
则点A′一定在BG上．
∵点A的坐标为（x₁，y₁），
∴点A′的坐标为（-x₁，y₁）．
∵点A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂）在直线y=kx+2上，
∴y₁=kx₁+2，y₂=kx₂+2．
∴点A′的坐标为（-x₁，kx₁+2）、点B的坐标为（x₂，kx₂+2）．
设直线BG的解析式为y=mx+n，则点G的坐标为（0，n）．
∵点A′（-x₁，kx₁+2）、B（x₂，kx₂+2）在直线BG上，
∴?

x

1
m+n＝k

x

1
+2

x

2
m+n＝k

x

2
+2
．
解得：m＝k(

x

2
?

x

1
)

x

2
+

x

1
n＝2k

x

1

x

2

x

2
+

x

1
+2
．
∵A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）是直线y=kx+2与抛物线y=14
x²+1的交点，
∴x₁、x₂是方程kx+2=14
x²+1即x²-4kx-4=0的两个实数根．
∴由根与系数的关系可得；x₁+x₂=4k，x₁?x₂=-4．
∴n=2k×(?4)4k+2
=-2+2=0．
∴点G的坐标为（0，0）．
∴在此二次函数图象下方的y轴上，存在定点G（0，0），使△ABG的内切圆的圆心落在y轴上．
②过点A作AC⊥OP，垂足为C，过点B作BD⊥OP，垂足为D，如图2，
∵直线y=kx+2与y轴相交于点P，
∴点P的坐标为（0，2）．
∴PG=2．
∴S_△ABG=S_△APG+S_△BPG
=12
PG?AC+12
PG?BD
=12
PG?（AC+BD）
=12
×2×（-x₁+x₂）
=x₂-x₁
=(

x

2
+

x

1

)

2
?4

x

1

x

2

=(4k

)

2
?4×(?4)

=16(

k

2
+1)

=4

k

2
+1
．
∴当k=0时，S_△ABG最小，最小值为4．
∴△GAB面积的最小值为4．
•   4
  

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