...BE：EP=1：2 CF=FP三菱锥P-ABC
编辑： admin 2017-09-03
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答案是1/5
首先转换思路,把三角形PDE当做底面,容易知道三角形PDE的面积是三角形PAB的（3/5）*（2/3）倍,即2/5,又可以知道,点F到平面PAB的距离是点C到平面PAB的距离的一半（因为点F是PC的中点）.三菱锥P-DEF的体积是三角形PDE的面积乘以点F到平面PAB的距离再乘以1/3,三棱锥P-ABC的体积是三角形PAB面积乘以点C到平面PAB的距离再乘以1/3,所以三菱锥P-DEF的体积除以三棱锥P-ABC的体积就等以（2/5）*（1/2）,即1/5.所以三菱锥P-DEF的体积是三棱锥P-ABC的体积的1/5.
提示：
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类似问题
类似问题1：在三棱锥P-ABC中,D、E、F分别是PA、PB、PC上的三个点,AD：DP=1：3,BE：EP=1：2,CF=FP则三棱锥P-DEF与三棱锥P-ABC的体积比是?[数学科目]
过F、C分别作平面PAB的垂线,垂足分别是G、H.
显然有：FG∥CH,又CF＝PF,∴CH＝2FG,∴FG/CH＝1/2.
∵△PDE的面积＝（1/2）PD×PEsin∠APB, △PAB的面积＝（1/2）PA×PBsin∠APB.
∴三棱锥P－DEF的体积＝三棱锥F－PDE的体积＝（1/3）△PDE的面积×FG.
三棱锥P－ABC的体积＝三棱锥C－PAB的体积＝（1/3）△PAB的面积×CH.
∴三棱锥P－DEF的体积/三棱锥P－ABC的体积
＝［（1/3）△PDE的面积×FG］/［（1/3）△PAB的面积×CH］
＝△PDE的面积/（2△PAB的面积）
＝［（1/2）PD×PEsin∠APB］/［PA×PBsin∠APB］
＝（1/2）（PD/PA）（PE/PB）.
∵AD/DP＝1/3,∴（AD＋DP）/PD＝（1＋3）/3,∴PA/PD＝4/3,∴PD/PA＝3/4.
∵BE/EP＝1/2,∴（BE＋EP）/PE＝（1＋2）/2,∴PB/PE＝3/2,∴PE/PB＝2/3.
∴三棱锥P－DEF的体积/三棱锥P－ABC的体积＝（1/2）（3/4）（2/3）＝1/4.
类似问题2：在三菱锥P-ABC中,PA、PB、PC两两垂直,且PA=1,PB=PC=根号2,P在底面ABC上的投影为H,则H到三个侧面的距离的平方和为?[数学科目]
H到三个侧面的距离的平方和 等价为 PH^2
取BC中点D,连结PD,AD,则AD必过H点
由题意知：PA=1,PB=PC=√2,PA⊥平面PBC
则 PA⊥PD,PD=1
则 PH=√2/2
则 H到三个侧面的距离的平方和 = PH^2=1/2
类似问题3：在三菱锥p-ABC中,PA,PB,PC两两垂直,且PA=1,PB=PC=√2,P在底面ABC上的射影为H,则H到三个侧面的距离的平方和为[数学科目]
根据勾股定理,AC=√3,AB=√3,BC=2,
作AE⊥BC,垂足E,
∵△ABC是等腰△,
∴E是BC中点,CE=BC/2=1,
根据勾股定理,AE=√2,
S△ABC=BC*AE/2=√2,
∵H是P在平面ABC上的射影,
∴PH⊥平面ABC,
V三棱锥P-ABC=S△ABC*PH/3=√2PH/3,
V三棱锥C-PAB=（PA*PB/2）*PC/3=1/3,
∴√2PH/3=1/3,
PH=√2/2,
∴H到三个侧面的距离的平方和为PH^2,为1/2.
类似问题4：在三菱锥P-ABC中,底面三角形ABC是正三角形,若PA=PB=PC且PA=PB=1,（1）求二面角P-BC-A的的平面角的余弦值（2）三菱锥P-ABC的体积那个是且PA=AB=1[数学科目]
PA=PB=PC且PA=AB=1 ,底面三角形ABC是正三角形
所以三菱锥P-ABC,四面都为变长为1的正三角形
过P做PD垂直BC ,垂足为D,连接AD,(可证得AD垂直于BC)
所以可求出BC=AD=根号2
因为PA=1
根据正弦定理可求出 cos 角PDA=1/3
所以sin角PDA=2*(根号3 /3)
所以三菱锥P-ABC高为：AD * sin角PDA=根号6 /3
所以三菱锥P-ABC的体积=根号2 /12
类似问题5：在三菱锥p-ABC中,PB^2=PC^2+BC^2,PA垂直平面ABC(1)求证AC垂直于BC（2）AB=4,AC=3,当PA取何值时,使得异面直线PB与AC所成的角为60°[数学科目]
BC垂直于PA,BC又垂直于PC,故BC垂直于面PAC,故BC垂直于AC.
PA为根号20时,夹角60度.