高考数学题 高手来已知集合S={a1，a2，a3，…
编辑： admin 2017-03-03
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考点：进行简单的合情推理
专题：综合题,推理和证明
分析：（Ⅰ）利用dT（a2，a1）=0，dT（a2，a3）=0，dT（a2，a4）=1，可得lT（a2）=1；利用lT（a4）=dT（a4，a1）+dT（a4，a2）+dT（a4，a3）≤1+0+1=2，可得lT（a4）取得最大值2；
（Ⅱ）由dT（a，b）的定义可知：dT（a，b）+dT（b，a）=1，设删去的两个数为lT（ak），lT（am），则lT(ak)+lT(am)=1/2n(n-1)-M．由题意可知：lT（ak）≤n-1，lT（am）≤n-1，且当其中一个不等式中等号成立，即可得出结论；
（Ⅲ）对于满足lT（ai）＜n-1（i=1，2，3，…，n）的每一个集合T，集合S中都存在三个不同的元素e，f，g，使得dT（e，f）+dT（f，g）+dT（g，e）=3恒成立．
（Ⅰ）因为 （a1，a2），（a3，a2），（a2，a4）∈T，
所以 dT（a2，a1）=0，dT（a2，a3）=0，dT（a2，a4）=1，故lT（a2）=1．…（1分）
因为 （a2，a4）∈T，所以 dT（a4，a2）=0．
所以 lT（a4）=dT（a4，a1）+dT（a4，a2）+dT（a4，a3）≤1+0+1=2．
所以 当（a2，a4），（a4，a1），（a4，a3）∈T时，lT（a4）取得最大值2．…（3分）
（Ⅱ）由dT（a，b）的定义可知：dT（a，b）+dT（b，a）=1．
所以
lT(ai)=[dT(a1，a2)+dT(a2，a1)]+[dT(a1，a3)+dT(a3，a1)]
+…+[dT(a1，an)+dT(an，a1)]+…+[dT(an-1，an)+dT(an，an-1)]=
=1/2n(n-1)．…（6分）
设删去的两个数为lT（ak），lT（am），则lT(ak)+lT(am)=1/2n(n-1)-M．
由题意可知：lT（ak）≤n-1，lT（am）≤n-1，且当其中一个不等式中等号成立，
不放设lT（ak）=n-1时，dT（ak，am）=1，dT（am，ak）=0．
所以 lT（am）≤n-2．…（7分）
所以lT（ak）+lT（am）≤n-1+n-2=2n-3．
所以 lT(ak)+lT(am)=1/2n(n-1)-M≤2n-3，即M≥1/2n(n-5)+3．…（8分）
（Ⅲ）对于满足lT（ai）＜n-1（i=1，2，3，…，n）的每一个集合T，集合S中都存在三个不同的元素e，f，g，使得dT（e，f）+dT（f，g）+dT（g，e）=3恒成立，理由如下：
任取集合T，由lT（ai）＜n-1（i=1，2，3，…，n）可知，lT（a1），lT（a2），…，lT（an）中存在最大数，不妨记为lT（f）（若最大数不唯一，任取一个）．
因为 lT（f）＜n-1，
所以 存在e∈S，使得dT（f，e）=0，即（e，f）∈T．
由lT（f）≥1可设集合G={x∈S|（f，x）∈T}≠?．
则G中一定存在元素g使得dT（g，e）=1．否则，lT（e）≥lT（f）+1，与lT（f）是最大数矛盾．
所以dT（f，g）=1，dT（g，e）=1，即dT（e，f）+dT（f，g）+dT（g，e）=3．…（14分）
点评：本题考查进行简单的合情推理，考查新定义，考查学生分析解决问题的能力，难度大．