...r^2=a^2cos2A围成图形的面积图形大家
编辑： admin 2017-09-03
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问题出在你想当然的 “从-π/4到π/4的积分,明明是整个函数!”上,这里存在一个极坐标方程中极角的取值范围问题,事实上,双扭线r²=a²cos2θ也可以表示为r=±a√(cos2θ) θ∈[-π/4,π/4]或者r=a√(cos2θ) θ∈[-π/4,π/4]∪[3π/4,5π/4],即原方程中隐含了r=-a√(cos2θ) θ∈[3π/4,5π/4]或r=-a√(cos2θ) θ∈[-π/4,π/4]的部分.如果笼统的按照你的定积分进行积分,则忽略了双扭线r²=a²cos2θ中r=-a√(cos2θ) θ∈[-π/4,π/4]或者r=a√(cos2θ) θ∈[3π/4,5π/4]的部分.解题中特别是极坐标方程的积分问题中要特别注意这个问题,一个万能的解决办法是如果是对称图形则只考虑第一或某一象限的图形然后乘倍即可.
希望可以帮到你,不懂可以追问!
类似问题
类似问题1：求由线y=x^2与x=y^2所围成图形的面积[数学科目]
该平面图形沿x轴对称,先算x轴上半部分
x轴,y=e^x与直线x=1所围面积
S=从负无穷到1对y积分=e^1-e^(负无穷)=e
总面积2S=2e
类似问题2：求蜗线 r=acos(c)+b (b>=a) 所围成的图形面积a=1,b=2 画个图[数学科目]
如果我没理解错,c是指θ吧?
在极坐标中,图形面积是∫1/2*r^2 dθ,
这一题先画个图,发现θ应该从0积分到2*pie,
所以∫1/2*(acosθ+b)^2 dθ
=1/2∫((cosθ)^2+4cosθ+4)dθ
=1/2∫[1/2*cos(2θ)+1/2+4cosθ+4]dθ
=1/2*[1/4*sin(2θ)+4sinθ+4.5θ]
从0积到2pie
=4.5*pie
楼主啊,百度输入数学符号太累了,经常显示不了
补充：如果c是指θ前面的系数,就相当于把2*pie等分成c份,可以先从0积分到2pie/c,然后再乘以c.
因为每一份里前一半和后一半是对称的,其实可以先从0积分到pie/c,然后乘以2c.
我是微积分初学者,以上答案不一定对,但方法100%正确!
类似问题3：关于图线与坐标轴围成的图形面积图线与坐标轴围成的图形面积 如果是匀速直线运动我可以理解 根据S=vt 可如果是加速运动或图像是曲线 总是无法理解为什么面积就是位移 如果再根据S=vt [物理科目]
这题书上讲加速度时用过这种思想,就是无限微分.
你想,如果在曲线上取距离极近的两点.那么两点之间连线近乎水平,可认为极短时间内是匀速直线运动,那么分别作两点到x轴的垂线.则形成一个小矩形,矩形的面积就是在这极短的时间里运动的距离.把曲线上取尽可能近,尽可能多的这样的点,形成很多连续的小矩形,这些矩形的面积之和就是运动的总距离,也就是曲线与坐标轴围成的距离.
对于匀速直线运动,我认为你没有完全理解,你是先学会了公式,然后把公式带到图像中去验证.好的理解方法是理解图像上各个数量的物理意义,通过图像推理出公式和图形面积的物理意义.
总的来说就是不能死记物理公式,而是要理解推出公式的思想方法.
类似问题4：用格林公式计算双扭线(x^2+y^2)^2=a^2(x^2-y^2)面积.用格林公式计算双扭线(x^2+y^2)^2=a^2(x^2-y^2)面积.多谢（答案提示是y=xtant)不知道怎么弄·····[数学科目]
见图片
类似问题5：双扭线的图像及其表达式如题,谢谢
(x^2+y^2)^2=2a^2(x^2-y^2)
ρ^2=a^2*cos2θ
ρ^2=a^2*sin2θ