...以A为直角顶点作Rt△ABC，且点B、C在圆上
编辑： admin 2017-26-03
-
4
设M（x，y），连接OC，OM，MA，则
由垂径定理，可得OM⊥BC，
∴OM2+MC2=OC2，
∵AM=CM，
∴OM2+AM2=OC2，
∴x2+y2+（x-3）2+y2=25，
即BC中点M的轨迹方程为x2+y2-3x-8=0．
类似问题
类似问题1： 已知点A（3，0）是圆x2+y2=25内的一个定点，以A为直角顶点作Rt△ABC，且点B、C在圆上，试求BC中点M的轨迹方程．[数学科目]
设M（x，y），连接OC，OM，MA，则
由垂径定理，可得OM⊥BC，
∴OM2+MC2=OC2，
∵AM=CM，
∴OM2+AM2=OC2，
∴x2+y2+（x-3）2+y2=25，
即BC中点M的轨迹方程为x2+y2-3x-8=0．
类似问题2： 已知△ABC中，点B（-3，-1），C（2，1）是定点，顶点A在圆（x+2）2+（y-4）2=4上运动，求△ABC的重心G的轨迹方程．[数学科目]
记G（x，y），A（x0，y0）， x
由重心公式得：x=3
y 0 |
| 3 |
于是有：x0=3x+1，y0=3y，
而A点在圆（x+2）2+（y-4）2=4上运动，
∴（3x+1+2）2+（3y-4）2=4，化简得：（x+1）2+（y-
| 4 |
| 3 |
| 4 |
| 9 |
故△ABC的重心G的轨迹方程是：（x+1）2+（y-
| 4 |
| 3 |
| 4 |
| 9 |
类似问题3： 已知在Rt△ABC中,A(-1,0),B(3,0).1.求直角顶点C的轨迹方程；2.直角边BC中点M的轨迹方程不要复制来的答案,那些我都看过了[数学科目]
设点C（x,y）根据题意我们知道角C=90度
也就是AC垂直BC
那么直线AC的斜率=y/(x+1)
直线BC的斜率=y/(x-3)
二者之积=-1
y/(x+1)*y/(x-3)=-1
y²=-(x+1)(x-3)
y²=-x²+2x+3
x²+y²-2x=3
(x-1)²+y²=4
或者根据圆的特性,直径对的圆周角=90度
那么圆心横坐标=(-1+3)/2=1
圆心（1,0）半径=AB/2=(3+1)/2=2
所以C轨迹：(x-1)²+y²=4
类似问题4： 【如图所示，已知P（4，0）是圆x2+y2=36内的一点，A、B是圆上两动点，且满足∠APB=90°，求矩形APBQ的顶点Q的轨迹方程．】百度作业帮[数学科目]
设AB的中点为R，则R也是PQ的中点，设R的坐标为（x1，y1），则在Rt△ABP中，|AR|=|PR|． x
又因为R是弦AB的中点，依垂径定理：在Rt△OAR中，|AR|2=|AO|2-|OR|2=36-（
y
12）．又|AR|=|PR|=
( x 1?4)2+y 12 |
y
12=36-（x
12 +y
12），即x
12 +y
12-4x1-10=0．因此点R在一个圆上，而当R在此圆上运动时，Q点即在所求的轨迹上运动．
设Q（x，y），因为R是PQ的中点，所以x1=
| x+4 |
| 2 |
y
1＝| y+0 |
| 2 |
代入方程
x
12 +y
12-4x1-10=0，得(| x+4 |
| 2 |
)
2+(| y |
| 2 |
)
2?4?| x+4 |
| 2 |
整理得：x2+y2=56，这就是所求的Q点的轨迹方程．
类似问题5： 已知△ABC中，点B（-3，-1），C（2，1）是定点，顶点A在圆（x+2）2+（y-4）2=4上运动，求△ABC的重心G的轨迹方程．[数学科目]
记G（x，y），A（x0，y0）， x
由重心公式得：x=3
y 0 |
| 3 |
于是有：x0=3x+1，y0=3y，
而A点在圆（x+2）2+（y-4）2=4上运动，
∴（3x+1+2）2+（3y-4）2=4，化简得：（x+1）2+（y-
| 4 |
| 3 |
| 4 |
| 9 |
故△ABC的重心G的轨迹方程是：（x+1）2+（y-
| 4 |
| 3 |
| 4 |
| 9 |